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级数展开的三角函数

trigonometry math python

jpp · 技术社区 · 7 年前

我正在尝试编写模拟 math.sin 和 math.tan 但是,不是使用 math 库,使用系列展开执行计算。

公式来自数学SE, How would you calculate the Tangent without a calculator? :

sin(x)=x^3/3!+x^5/5。。。

tan(x)=sin(x)/-sin(x)^2

这是我的尝试,但我不知道如何执行翻转标志 + / - / + /。。。系列扩展的一部分 sin :

from math import factorial

res = 0
for i in [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19]:
    res += 1**i/factorial(i)

print(res)  # 1.1752011936438016

结果不正确,因为我没有应用 + / - 转换我可以添加 if / else 但这似乎很混乱。有更好的方法吗?

笔记 :此问题是 now deleted question 昨天由@Lana发布。

2 回复 | 直到 7 年前

Thierry Lathuille 7 年前

通过使用前一项计算总和的下一项,可以避免在每一步重新计算x**n和阶乘:

def sin2(x, n=20):
    curr =  x
    res = curr 
    for i in range(2, n, 2):
        curr *= - x**2/(i*(i+1))
        res += curr
    return res

与jpp的版本相比,速度大约是jpp的两倍:

from math import factorial

def sin(x, n=20):
    return sum(x**j/factorial(j)*(1 if i%2==0 else -1)
               for i, j in enumerate(range(1, n, 2)))


%timeit sin(0.7)
# 100000 loops, best of 3: 8.52 Âµs per loop
%timeit sin2(0.7)
# 100000 loops, best of 3: 4.54 Âµs per loop

如果我们计算 - x**2 一劳永逸:

def sin3(x, n=20):
    curr =  x
    res = 0
    minus_x_squared = - x**2
    for i in range(2, n, 2):
        res += curr
        curr *= minus_x_squared/(i*(i+1))
    return res

%timeit sin2(0.7)
# 100000 loops, best of 3: 4.6 Âµs per loop

%timeit sin3(0.7)
# 100000 loops, best of 3: 3.54 Âµs per loop

jpp 7 年前

你很接近。下面是一种使用 sum 具有 enumerate 用于您的系列扩展。

列举 通过获取iterable的每个值并附加一个索引来工作,即0表示第一项,1表示第二项,等等。然后,我们只需要测试索引是偶数还是奇数,并使用 ternary statement 。

此外,您可以使用 range 而不是列出扩展中所需的奇数。

from math import factorial

def sin(x, n=20):
    return sum(x**j/factorial(j)*(1 if i%2==0 else -1)
               for i, j in enumerate(range(1, n, 2)))

def tan(x):
    return sin(x) / (1-(sin(x))**2)**0.5

print(tan(1.2))  # 2.572151622126318

您可以避免使用三元语句 列举 总共:

def sin(x, n=20):
    return sum((-1)**i * x**(2*i+1) / factorial(2*i+1) for i in range(n))

如果你手工写出前几个术语,等价性就会变得很清楚。

备注:

的标志 tan 功能仅适用于第1和第4象限。这与您提供的公式一致。您可以对输入执行简单的转换来解释这一点。
可以通过增加参数来提高精度 n 。
您也可以在没有库的情况下计算阶乘,但我将把它作为练习。