据我所知,这篇论文是关于稀疏伪逆的:
上面写着
我们的目标是最小化spinv(a)中的非零数量。
这意味着你应该采用l0标准(见大卫多诺霍的定义
here
:
非零条目数
这使得问题难以解决。
spinv(A) = argmin ||B||_0 subject to B.A = I
因此,他们转向这个问题的凸松弛,这样它就可以用线性规划来解决。
这通常是一个不可处理的问题,因此我们使用标准
1范数的线性松弛。
轻松的问题是
spinv(A) = argmin ||B||_1 subject to B.A = I (6)
这有时叫做
Basis pursuit
并倾向于产生稀疏的解决方案(参见
凸优化
作者:Boyd和Vandenberghe,第
6.2最小范数问题
)
所以,解决这个放松的问题。
线性程序(6)是可分离的,可以通过计算得到。
一次B行
所以,你可以解决下面的一系列形式的问题,得到解决方案。
spinv(A)_i = argmin ||B_i||_1 subject to B_i.A = I_i
哪里
_i
表示矩阵的第i行。
见
here
了解如何将这个绝对值问题转换为线性程序。
在下面的代码中,我将问题稍微更改为
spinv(A)_i = argmin ||B_i||_1 subject to A.B_i = I_i
在哪里?
一世
是矩阵的第i列,所以问题变成
spinv(A) = argmin ||B||_1 subject to A.B = I
. 老实说,我不知道这两者是否有区别。我用的是西皮的
linprog
单纯形法。我不知道simplex的内部结构,也不知道它是否使用SVD。
import numpy as np
from scipy import optimize
# argmin ||B_i||_1 stubect to A.B_i = I_i, where _i is the ith column
# let B_i = u_i - v_i where u_i >= 0 and v_i >= 0
# then ||B_i||_1 = [1' 1'][u_i;v_i] which is the objective function
# and A.B_i = I_i becomes
# A.[u_i - v_i] = I_i
# [A -A][u_i;v_i] = I_i which is the equality constraint
# and [u_i;v_i] >= 0 the bounds
# here A is n x m (as opposed to m x n in paper)
A = np.random.randn(4, 6)
n, m = A.shape
I = np.eye(n)
Aeq = np.hstack((A, -A))
# objective
c = np.ones((2*m))
# spinv
B = np.zeros((m, n))
for i in range(n):
beq = I[:, i]
result = optimize.linprog(c, A_eq=Aeq, b_eq=beq)
x = result.x[0:m]-result.x[m:2*m]
B[:, i] = x
print('spinv(A) = \n' + str(B))
print('pinv(A) = \n' + str(np.linalg.pinv(A)))
print('A.B = \n' + str(np.dot(A, B)))
这是一个输出。
spinv(A)
比…更稀疏
pinv(A)
.
spinv(A) =
[[ 0. -0.33361925 0. 0. ]
[ 0.04987467 0. 0.12741509 0.02897778]
[ 0. 0. -0.52306324 0. ]
[ 0.43848257 0.12114828 0.15678815 -0.19302049]
[-0.16814546 0.02911103 -0.41089271 0.50785258]
[-0.05696924 0.13391736 0. -0.43858428]]
pinv(A) =
[[ 0.05626402 -0.1478497 0.19953692 -0.19719524]
[ 0.04007696 -0.07330993 0.19903311 0.14704798]
[ 0.01177361 -0.05761487 -0.23074996 0.15597663]
[ 0.44471989 0.13849828 0.18733242 -0.20824972]
[-0.1273604 0.15615595 -0.24647117 0.38047901]
[-0.04638221 0.09879972 0.21951122 -0.33244635]]
A.B =
[[ 1.00000000e+00 -1.82225048e-17 6.73349443e-18 -2.39383542e-17]
[-5.20584593e-18 1.00000000e+00 -3.70118759e-16 -1.62063433e-15]
[-8.83342417e-18 -5.80049814e-16 1.00000000e+00 3.56175852e-15]
[ 2.31629738e-17 -1.13459832e-15 -2.28503999e-16 1.00000000e+00]]
为了进一步稀疏矩阵,我们可以硬应用entrywise
阈值化,从而牺牲了反转特性并计算出
近似稀疏伪逆
如果不想在稀疏PINv中保留小条目,可以这样删除它们:
Bt = B.copy()
Bt[np.abs(Bt) < 0.1] = 0
print('sspinv_0.1(A) = \n' + str(Bt))
print('A.Bt = \n' + str(np.dot(A, Bt)))
得到
sspinv_0.1(A) =
[[ 0. -0.33361925 0. 0. ]
[ 0. 0. 0.12741509 0. ]
[ 0. 0. -0.52306324 0. ]
[ 0.43848257 0.12114828 0.15678815 -0.19302049]
[-0.16814546 0. -0.41089271 0.50785258]
[ 0. 0.13391736 0. -0.43858428]]
A.Bt =
[[ 9.22717491e-01 1.17555372e-02 6.73349443e-18 -1.10993934e-03]
[ 1.24361576e-01 9.41538212e-01 -3.70118759e-16 1.15028494e-02]
[-8.76662313e-02 -1.36349311e-02 1.00000000e+00 -7.48302663e-02]
[-1.54387852e-01 -3.27969169e-02 -2.28503999e-16 9.39161039e-01]]
希望我回答了你的问题,并提供了足够的参考,如果你想进一步的细节。如果有任何问题,请告诉我。我不是专家,所以如果你对我的主张有任何疑问的话,你可以随时咨询数学交换专家(当然没有任何代码),请告诉我。
这是一个有趣的问题。它使我能够重新学习线性代数和一些我知道的优化,所以谢谢你:)
