平均角度…再次

[ 注意 OP的问题(但不是标题)似乎已经变成了一个相当专业的问题(“…一系列角度的平均值,其中每个连续的添加与运行平均值之间的差异不超过指定的数量”)—请参见@mar comment and mine。我下面的回答涉及了OP的标题和大部分讨论以及与之相关的答案。 ]

这不是逻辑或直觉问题,而是定义问题。这是以前讨论过的,没有任何真正的共识。角度应该定义在一个范围内(可能是-pi到+pi,或者0到2*pi,或者可能是-inf到+inf。每种情况下答案都会不同。

世界的“角度”会引起混乱,因为它意味着不同的事物。这个 视角 是无符号数量(通常为pi>theta>0。在这种情况下,“正常”平均值可能有用。 旋转角度 (例如,如果滑冰运动员是全速旋转)可能会或可能不会被签署,可能包括theta>2*pi和theta<-2*pi。

这里定义的是 角度=方向 它需要载体。如果您使用“方向”而不是“角度”,您将获得操作的(明显的原始)意图,它将有助于远离标量。

维基百科展示了正确的方法,当角度被循环定义为

theta = theta+2*PI*N = theta-2*PI*N

平均值的答案不是一个标量,而是一个向量。操作员可能感觉不到这是直观的,但它是唯一有用的正确方法。我们不能将-4的平方根重新定义为-2,因为它更具首创性,它必须是+-2*i。同样地,轴承-90度和+90度的平均值是零长度的向量,而不是0.0度。

维基百科( http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_of_circular_quantities )有一个特殊的部分和状态(方程式是乳胶,可以在维基百科中看到):

大多数常用的方法都失败了 圆形量,如角, 昼间,实部的小数部分 数字。你需要的数量 循环量的平均值。

因为算术平均数不是 对角度有效,如下 方法可用于获取 平均值和测量值 角度变化:

将所有角度转换为相应的 单位圆上的点,例如“到” (cos_±,sin_±)。那就是转换极性 坐标到笛卡尔坐标。 然后计算 这些要点。结果点将 放在单元盘上。转换为 指向极坐标。这个 角度是一个合理的方法 输入角度。结果半径 如果所有角度都相等,则为1。如果 角度是均匀分布的 在圆上,然后 半径为0,没有 圆均值。也就是说, 半径测量的是 角度。

给定角度 \ alpha_1、\dots、\alpha_n平均值是 通过计算

M \alpha = \operatorname{atan2}\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{j=1}^n

辛·阿尔法哈, \分数1 n \cdot\sum j=1 ^n \ cos \ alpha_j \右)

使用的atan2变量 反正切函数,或

M \alpha = \arg\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{j=1}^n

\ exp(i \cdot \alpha\u j \右)

使用复数。

请注意,在OP的问题中,0的角度完全是任意的——0的风与180的风相比没有什么特别之处(除了这个半球,自行车上的风更冷)。尝试将0、0、90更改为289、289、379,看看简单的算术如何不再有效。

(那里) 是 一些分布,其中0和π的角度有特殊意义,但它们不在这里的范围内)。

下面是一些之前激烈的讨论,反映了当前观点的传播:—)

http://mathforum.org/library/drmath/view/53924.html

How do you calculate the average of a set of circular data?

http://forums.xkcd.com/viewtopic.php?f=17&t=22435

http://www.allegro.cc/forums/thread/595008

谢谢大家帮助我更清楚地看到我的问题。

我找到了我要找的东西。 它被称为 三井法 .

输入和输出在[0..360]范围内。

该方法适用于对使用恒定采样间隔采样的数据进行平均。

该方法假定连续采样之间的差异小于180度(这意味着如果采样速度不够快,采样信号中的330度变化将被错误地检测为另一方向的30度变化,并将在计算中插入错误)。 奈奎斯特“香农抽样定理有人吗?

这里是一个C++代码:

double AngAvrg(const vector<double>& Ang)
{
    vector<double>::const_iterator iter= Ang.begin();

    double fD   = *iter;
    double fSigD= *iter;

    while (++iter != Ang.end())
    {
        double fDelta= *iter - fD;

             if (fDelta < -180.) fD+= fDelta + 360.;
        else if (fDelta >  180.) fD+= fDelta - 360.;
        else                     fD+= fDelta       ;

        fSigD+= fD;
    }

    double fAvrg= fSigD / Ang.size();

    if (fAvrg >= 360.) return fAvrg -360.;
    if (fAvrg <  0.  ) return fAvrg +360.;
                       return fAvrg      ;
}

在第51页的 http://www.epa.gov/scram001/guidance/met/mmgrma.pdf

感谢Mar将链接作为评论发送。

如果采样数据是恒定的,但我们的采样设备与 Von Mises distribution 单位向量的计算将是适当的。

这在每个级别上都是不正确的。

矢量按矢量相加规则相加。“直观的,预期的”答案可能不是那么直观。

以下面的例子为例。如果我有一个单位向量(1,0),原点在(0,0)指向+X方向,另一个原点在(0,0)指向-X方向,那么“平均”角应该是什么?

如果我简单地加上角并除以二,我可以认为“平均值”是+90或-90。你认为应该是哪一个?

如果我按照向量相加的规则(逐分量)添加向量,我得到如下结果:

(1,0)+(-1,0)=(0,0)

在极坐标系中,这是一个矢量,其大小为零,角度为零。

那么,“平均”角度应该是什么呢?对于一个简单的案例,我有三个不同的答案。

我认为答案是向量不服从数字的直觉,因为它们既有大小又有方向。也许你应该描述一下你在解决什么问题。

无论你决定什么解决方案,我建议你以向量为基础。这样总是正确的。

它甚至对平均源轴承意味着什么?首先回答这个问题,你会更接近于定义你所说的平均角度。

在我看来,正切等于1/2的角是正确的答案。如果有一个单位力把我推向向量(1,0)的方向,另一个力把我推向向量(1,0)的方向,第三个力把我推向向量(0,1)的方向,那么产生的力(这些力的总和)就是把我推向向量(1,2)的方向的力。这些向量表示轴承0度、0度和90度。矢量(1,2)表示的角的正切等于1/2。

回复第二次编辑:

假设我们正在测量风向。我们的3个测量值分别是0度、0度和90度。既然所有的测量都是同等可靠的,为什么我们对风向的最佳估计不应该是30度呢?将其设置为25.56度是一个偏向于0…

好吧,有个问题。角度为0的单位向量与实数0的数学性质不同。使用符号 0v 要用角度0表示矢量,请注意

0v + 0v = 0v

是假的

0 + 0 = 0

实数是真的。所以如果 0V 表示单位速度和角度为0的风,然后 0v + 0v 是单位速度和角度为0的双风。如果我们有第三个风矢量(我用符号表示 90v )它有角度90和单位速度,那么由这些向量之和产生的风确实有一个偏差,因为它在水平方向以两倍单位速度运动,但在垂直方向只有单位速度。

在我看来,这是关于角度,而不是向量。因此,360和0的平均值实际上是180。 一个转弯和不转弯的平均值应为半个转弯。

编辑: 等效但更稳健的算法(更简单):

1. 将角度分为两组[0-180]和[180-360]
2. 数值平均两组
3. 用适当的加权平均2组平均数
4. 如果发生包围,则按180_更正。

这是因为如果所有的角都在同一个半圆上,则数字平均在“逻辑”上起作用。然后我们延迟得到环绕误差,直到最后一步,在那里它很容易被检测和纠正。我还输入了一些处理相反角度情况的代码。如果平均数是相反的,我们倾向于有更多角度的半球,如果两个半球的角度相等,我们就返回。 None 因为没有一个平均值是合理的。

新密码:

def averageAngles2(angles):
    newAngles = [a % 360 for a in angles];
    smallAngles = []
    largeAngles = []
    # split the angles into 2 groups: [0-180) and [180-360)
    for angle in newAngles:
        if angle < 180:
            smallAngles.append(angle)
        else:
            largeAngles.append(angle)
    smallCount = len(smallAngles)
    largeCount = len(largeAngles)
    #averaging each of the groups will work with standard averages
    smallAverage = sum(smallAngles) / float(smallCount) if smallCount else 0
    largeAverage = sum(largeAngles) / float(largeCount) if largeCount else 0
    if smallCount == 0:
        return largeAverage
    if largeCount == 0:
        return smallAverage
    average = (smallAverage * smallCount + largeAverage * largeCount) / \
        float(smallCount + largeCount)
    if largeAverage < smallAverage + 180:
        # average will not hit wraparound
        return average
    elif largeAverage > smallAverage + 180:
        # average will hit wraparound, so will be off by 180 degrees
        return (average + 180) % 360
    else:
        # opposite angles: return whichever has more weight
        if smallCount > largeCount:
            return smallAverage
        elif smallCount < largeCount:
            return largeAverage
        else:
            return None

>>> averageAngles2([0, 0, 90])
30.0
>>> averageAngles2([30, 350])
10.0
>>> averageAngles2([0, 200])
280.0

这里有一个稍微幼稚的算法:

1. 从列表中删除所有oposite角度
2. 采取一对角度
3. 将它们旋转到第一象限和第二象限,并对它们进行平均
4. 将平均角度向后旋转相同的量
5. 对于每一个剩余角,以相同的方式进行平均,但连续增加复合角的权重。

一些python代码(步骤1未实现)

def averageAngles(angles):
    newAngles = [a % 360 for a in angles];
    average = 0
    weight = 0
    for ang in newAngles:
        theta = 0
        if 0 < ang - average <= 180:
            theta = 180 - ang
        else:
            theta = 180 - average
        r_ang = (ang + theta) % 360
        r_avg = (average + theta) % 360
        average = ((r_avg * weight + r_ang) / float(weight + 1) - theta) % 360
        weight += 1
    return average

以下是我对同一个问题的答案:

How do you calculate the average of a set of circular data?

它给出的答案与OP所说的一致,但应注意:

我还要强调的是,尽管这是角度的真实平均值,但与向量解不同,这并不一定意味着它是您应该使用的解,相应单位向量的平均值很可能是您实际应该使用的值。

你可以这样做:假设你在一个数组中有一组角度 angle ,然后首先计算数组: angle[i] = angle[i] mod 360 ,现在对数组执行简单的平均值。所以当你有360,10,20,你的平均值是0,10和20-结果是直观的。

把一组角度作为实值,仅仅计算这些数字的算术平均值,有什么错?然后你会得到直观的(0+0+90)/3=30度。

编辑 :感谢您提供有用的意见,并指出角度可能超过360。我相信答案可能是正态算术平均值减去“模”360:我们求和所有的值,除以角度数,然后减去/加上360的倍数,这样结果就位于区间[0..360]。

我认为问题在于你如何处理大于180的角度(以及大于360的角度)。如果在将角度相加之前将角度减小到+180到-180的范围,则会得到更合理的结果:

int AverageOfAngles(int angles[], int count)
{
    int total = 0;
    for (int index = 0; index < count; index++)
    {
        int angle = angles[index] % 360;
        if (angle > 180) { angle -= 360; }
        total += angle;
    }

    return (int)((float)total/count);
}

也许你可以用四元数来表示角度,取四元数的平均值,然后把它转换回角度。

我不知道它是否给了你想要的,因为四元数是旋转而不是角度。我也不知道它是否会给你任何不同于向量解的结果。

二维中的四元数简化为复数,所以我猜它只是向量,但可能是一些有趣的四元数平均算法,比如 http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20070017872_2007014421.pdf 当简化为2d时,其表现将比向量平均更好。