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查找在其他两个矢量之间创建特定角度的矢量

linear-algebra 3d math

satindressedup4 · 技术社区 · 1 年前

给定点A、点B、点J和角度X,找到角度ACB等于X的每个点C。它都在三维空间中,点J与A和B形成一个平面,所以所有的解C都应该位于该平面上。

解点C从来没有给我正确的角度。此外,当X=90时,有多少个解决方案?X怎么样=90?

def angle_between_vectors(v1, v2):
    # Calculate the angle between two vectors in degrees
    angle_rad = np.arccos(np.dot(v1, v2) / (np.linalg.norm(v1) * np.linalg.norm(v2)))
    return np.degrees(angle_rad)

def find_points_with_angle_3d(A, B, J, X):

    # J forms a plane with A and B on which any solution C must lie
    # X is the angle (degrees) at which any solution C should make with A and B

    # set A, B, J as vectors
    A = np.array(A)
    B = np.array(B)
    J = np.array(J)

    # calculate vectors AB and AJ
    AB = B - A
    AJ = J - A

    # unit vector AB
    uAB = AB / np.linalg.norm(AB)

    # normal vector of the plane
    N = np.cross(AB, AJ)

    # unit vector N
    uN = N / np.linalg.norm(N)

    # project AJ onto plane
    AJ_proj = np.dot(AJ, uN) * uN

    # vector orthogonal to N and AB
    perpendicular_vector = np.cross(uN, AB)

    C1 = A + math.cos(np.radians(X)) * AJ_proj + math.sin(np.radians(X)) * perpendicular_vector

    C2 = A + math.cos(np.radians(X)) * AJ_proj - math.sin(np.radians(X)) * perpendicular_vector

    print("C1:", C1)
    print("C2:", C2)

    # Calculate angles ACB for C1 and C2
    AC1 = C1 - A
    BC1 = C1 - B
    angle_C1 = angle_between_vectors(AC1, BC1)

    AC2 = C2 - A
    BC2 = C2 - B
    angle_C2 = angle_between_vectors(AC2, BC2)

    print("Angle ACB for C1:", angle_C1)
    print("Angle ACB for C2:", angle_C2)

    return C1, C2

A = (2, 1, 3)
B = (4, 5, 4)
J = (7, 7, 7)
angle_X_deg = 45
C1, C2 = find_points_with_angle_3d(A, B, J, angle_X_deg)

输出

C1: [ 3.55904966 -0.39776866  5.47297532]
C2: [0.44095034 2.39776866 0.52702468]
Angle ACB for C1: 54.735610317245346
Angle ACB for C2: 54.735610317245346

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MBo 1 年前

有无限多 C 点。

它们位于圆心角的圆弧上 AOB = 2*X (D情况)或 AOB = 2*(180-X) 对于 X>90 (图片中的C案例)( Inscribed angle theorem ). ABJ平面上的图片:

请注意,对于 X=90 AB 是圆直径, C 可能在圆圈的任何位置。

还要注意的是二相对于同一圆镜像对称的圆 AB 和弦

要获得所有可能的C点的公式,我们可以执行以下操作:

查找平面的法线:

 N = AB.cross.AJ

获取垂直于平面中AB的向量,并对其进行归一化:

P = AB.cross.N
uP = P / len(P)

同样标准化AB:

uAB = AB / len(AB)

进入中间 AB 和弦

M = A + AB/2

获取的角度 AB 和弦

if X > Pi/2:
    Alpha = 2 * (Pi - X)
else:
    Alpha = 2 * X

获取圆心和半径

HalfLen = len(AB) / 2
O = M + uP * HalfLen / Tan(Alpha/2)   // M - uP... for mirrored circle

R = HalfLen / Cos(Alpha/2)

现在我们可以使用角度参数生成所有点 t 在范围内 (-Alpha/2.. +Alpha/2)

C = O + R * uP * Cos(t) + R * uAB * Sin(t)

(注意,我们需要检查和更改标志来描述所有情况)

Spektre 1 年前

我们知道:

cos(ang) = dot(a,b)/(|a|*|b|)

简化let make a 单元

a/=|a|

现在 a,angle 已知且 b 是未知的,其单位受到约束,因此我们可以建立方程组:

cos(ang) = (a.x * b.x) + (a.y * b.y) + (a.z * b.z)
       1 = (b.x * b.x) + (b.x * b.x) + (b.x * b.x)

对于非零 ang 有无限的解决方案 b 所以你要么对准某个平面 一 在于将其简化为二维问题,导致2个方程和2个未知数的系统,或者您只需选择一个坐标 b 并将其设置为零,然后计算其余的。。。如果没有找到解决方案,则选择的不同坐标 b 并再次计算。