如何用numpy解齐次线性方程组?

您可以使用SVD或QR分解来计算线性系统的零空间,例如:

import numpy

def null(A, eps=1e-15):
    u, s, vh = numpy.linalg.svd(A)
    null_space = numpy.compress(s <= eps, vh, axis=0)
    return null_space.T

这为您的示例提供了:

>>> A
matrix([[-0.75,  0.25,  0.25,  0.25],
        [ 1.  , -1.  ,  0.  ,  0.  ],
        [ 1.  ,  0.  , -1.  ,  0.  ],
        [ 1.  ,  0.  ,  0.  , -1.  ]])

>>> null(A).T
array([[-0.5, -0.5, -0.5, -0.5]])

>>> (A*null(A)).T
matrix([[ 1.66533454e-16, -1.66533454e-16, -2.22044605e-16, -2.22044605e-16]])

另见章节 Numerical computation of null space 在维基百科上。

因此,过约束齐次线性系统的最佳解是与最小特征值相关的特征向量。因此,给定u作为系统的系数矩阵,其解为:

import numpy as np

def solution(U):
    # find the eigenvalues and eigenvector of U(transpose).U
    e_vals, e_vecs = np.linalg.eig(np.dot(U.T, U))  
    # extract the eigenvector (column) associated with the minimum eigenvalue
    return e_vecs[:, np.argmin(e_vals)]