计算谐波级数的python程序

@Kiv's answer 是正确的,但如果不需要无限精度,则对于大n来说速度很慢。最好使用 asymptotic formula 在这种情况下:

#!/usr/bin/env python
from math import log

def H(n):
    """Returns an approximate value of n-th harmonic number.

       http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
    """
    # Euler-Mascheroni constant
    gamma = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992
    return gamma + log(n) + 0.5/n - 1./(12*n**2) + 1./(120*n**4)

@基夫的回答 对于Python2.6:

from fractions import Fraction

harmonic_number = lambda n: sum(Fraction(1, d) for d in xrange(1, n+1))

例子:

>>> N = 100
>>> h_exact = harmonic_number(N)
>>> h = H(N)
>>> rel_err = (abs(h - h_exact) / h_exact)
>>> print n, "%r" % h, "%.2g" % rel_err
100 5.1873775176396242 6.8e-16

AT N = 100 相对误差小于 1e-15 .

@recursive's solution 对于浮点近似值是正确的。如果愿意,可以使用分数模块在Python3.0中获得确切的答案:

>>> from fractions import Fraction
>>> def calc_harmonic(n):
...   return sum(Fraction(1, d) for d in range(1, n + 1))
...
>>> calc_harmonic(20) # sum of the first 20 terms
Fraction(55835135, 15519504)

请注意,数字的数量增长很快,因此这将需要大量的内存来存储大n。如果您真的想得到更多信息,还可以使用生成器来查看部分和的序列。

只是在其他使用浮点的答案上的一个脚注;从最大除数开始并迭代 向下地 (朝向最大值的倒数)将尽可能推迟累积的舍入误差。

谐波级数发散,即其和是无穷大。

编辑:除非你想要部分和,但你不太清楚。

一个快速、准确、平滑、复值的h函数可以用digamma函数来计算,如前所述 here . euler-mascheroni(gamma)常数和digamma函数分别在numpy和scipy库中可用。

from numpy import euler_gamma
from scipy.special import digamma

def digamma_H(s):
    """ If s is complex the result becomes complex. """
    return digamma(s + 1) + euler_gamma

from fractions import Fraction

def Kiv_H(n):
    return sum(Fraction(1, d) for d in xrange(1, n + 1))

def J_F_Sebastian_H(n):
    return euler_gamma + log(n) + 0.5/n - 1./(12*n**2) + 1./(120*n**4)

下面是速度和精度的三种方法的比较(以kiv_h为参考):

Kiv_H(x) J_F_Sebastian_H(x) digamma_H(x) x seconds bits seconds bits seconds bits 1 5.06e-05 exact 2.47e-06 8.8 1.16e-05 exact 10 4.45e-04 exact 3.25e-06 29.5 1.17e-05 52.6 100 7.64e-03 exact 3.65e-06 50.4 1.17e-05 exact 1000 7.62e-01 exact 5.92e-06 52.9 1.19e-05 exact

这应该能起到作用。

def calc_harmonic(n):
    return sum(1.0/d for d in range(2,n+1))

这个怎么样:

partialsum = 0
for i in xrange(1,1000000):
    partialsum += 1.0 / i
print partialsum

其中1000000是上限。

作业?

这是一个发散级数,所以不可能对所有项求和。

我不知道Python,但我知道如何用Java编写它。

public class Harmonic
{
    private static final int DEFAULT_NUM_TERMS = 10;

    public static void main(String[] args)
    {
        int numTerms = ((args.length > 0) ? Integer.parseInt(args[0]) : DEFAULT_NUM_TERMS);

        System.out.println("sum of " + numTerms + " terms=" + sum(numTerms));
     }

     public static double sum(int numTerms)
     {
         double sum = 0.0;

         if (numTerms > 0)
         {
             for (int k = 1; k <= numTerms; ++k)
             {
                 sum += 1.0/k;
             }
         }

         return sum;
     }
 }

我添加了另一个解决方案,这次使用递归,以找到第n个谐波数。

一般实施细节

功能原型: harmonic_recursive(n)

功能参数: n -第n次谐波数

基本情况: 如果 n 等于 1 返回1。

重复步骤: 如果不是基本情况,请致电 harmonic_recursive 对于 n-1 并将结果加上 1/n . 这样我们每次都把调和级数的第i项加上之前所有项的和,直到那一点。

伪码

(这个解决方案也可以用其他语言轻松实现。)

harmonic_recursive(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return 1/n + harmonic_recursive(n-1)

python代码

def harmonic_recursive(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return 1.0/n + harmonic_recursive(n-1)

使用simple for循环

def harmonicNumber(n):
x=0
for i in range (0,n):
    x=x+ 1/(i+1)
return x