证明a×b的叉积与b垂直[闭]

所以,经过一些研究,我终于找到了如何证明R3上的向量相互垂直的方法。

A= (a1, a2, a3)
B= (b1, b2, b3)
C= (c1, c2, c3)

(AB x AC )* AB = 0
(AB x AC )* AC = 0

我认为你不理解叉积的作用。它给出了一个与这两个向量正交的向量。

叉积a b定义为垂直的向量c (正交)a和b,方向由右手给定 规则和大小等于 向量跨度。

你可以简单地通过使用正交性的定义来说明这一点,正交性是由它们的点积为零得到的。

像这样的问题归根结底就是你的定义。

例如 定义 叉积A x B为:

1. R^3是指具有固定方向的三维实空间。
2. 观察R^3中两个线性独立的向量A和B跨越一个平面,因此垂直于它们的每个向量都位于通过垂直于该平面的原点的(唯一)线上。
3. 请注意,对于任何正幅值,沿着这条线有两个具有该幅值的向量。
4. 注意,如果我们考虑R^3的有序基{A,B,C},其中C是前一步中的两个向量之一,那么一个选择匹配R^3的方向,另一个不匹配。
5. 将A x B定义为上一步中的向量C,其中{A,B,C}与R^3的方向匹配。

例如,这就是在 Wikipedia article :

“叉积a×b被定义为与a和b垂直(正交)的向量c,方向由右手法则给出,大小等于向量跨越的平行四边形的面积。”

如果这是你的定义,那么实际上没有什么可以证明的,因为定义中已经有了“垂直”这个词。

另一个定义可能是这样的:

1. R^3是指具有固定方向的三维实空间。
2. 对于与R^3方向相同的R^3的有序基{e1,e2,e3},我们可以将任意两个向量A和B写成A=a1 e1+a2 e2+a3 e3,B写成B=b1 e1+b2 e2+b3 e3。
3. 观察到,无论我们在步骤2中选择{e1,e2,e3},向量C:=(a2 b3-b2 a3)e1-(a1 b3-b3 a1)e2+(a1 b2-b1 a2)e3总是相同的。
4. 取上一步中的向量C作为A x B的定义。

这并不是一个很好的定义,因为第3步既需要大量的工作,也需要完全的黑魔法,但这是一个常见的定义。如果这是您的定义 最好的 证明A x B垂直于A和B的方法是,证明另一个定义给出了与这个定义相同的向量,然后垂直度是免费的。

更直接的方法是证明点积为零的向量是垂直的,然后通过一系列代数计算点积。同样,这是一种相当流行的方法,但它基本上一文不值,因为它不能提供任何关于正在发生的事情的见解。