为什么Functor类没有返回函数?

有两个级别:类型和值。由于Hask的对象是类型,因此只能使用类型构造函数映射它们 * -> * 种类:

• α -> F α (用于 Functor F ),
• β -> M β (用于 Monad M ).

然后对于函子,你需要一个态射映射(即函数,是值):

fmap :: (α -> β) -> (F α -> F β)

重要的是 return :: α -> M α 属于 Monad 不是类型的映射器 α 到 M α 正如你所想。根据monad的数学定义, return 对应于自然转换 从…起 Id 函数到 M 函子。以及 身份证件 函子在Hask中是隐式的。monad的标准定义还需要另一种自然转换 M ◦ M -> M 。所以翻译成Haskell看起来像

class Functor m => Monad m where
    return :: Id α -> m α
    join :: m (m α) -> m α

(附带说明:这两个自然变换实际上是单位和乘法,这使monad成为 内函子范畴中的幺半群 )

实际定义不同,但相当。看见 Haskell/wiki 在这方面。

如果采用从标准绑定派生的类复合运算符 >>= :: m α -> (α -> m β) -> m β :

(>=>) :: Monad m => (α -> m β) -> (β -> m γ) -> (α -> m γ)
f >=> g = \a => f a >>= g

你可以看到,这实际上是关于 Kleisli category 。另请参见 article on nLab 关于计算机科学中的单子。

类别的对象包括 不 与OO编程语言中的对象相同(我们更喜欢调用 价值观 在Haskell;讨论了它们在范畴理论中的含义 here ). 相反 哈斯克 是 类型 .哈斯克尔 Functor s是内函子 哈斯克 ,即通过以下方式将类型与类型关联:

前奏曲>:k可能
可能::*->*
前奏曲>:k整数
内部::*
前奏曲>:k可能Int
可能Int::*

OTOH 箭头 属于 哈斯克 实际上是一些函数类型的值 a -> b 这些以以下方式关联:

fmap :: ( Functor (f ::   t     ->     f t       {- type-level  -} ) )
             =>         (a->b)  ->  fmap(a->b)   {- value-level -}
                     ≡  (a->b)  ->  (f a->f b)

尽管您在问题中使用了那些花哨的分类术语,并且应该对现有的答案完全满意,但这里尝试了一个非常简单的解释:

假设那里 将 是一种功能 return (或 pure 或 unit 或 ... )在Functor类型类中。

现在尝试定义一些常见的Functor实例: [] (列表), Maybe , ((,) a) (带左侧组件的元组)

够简单了,嗯?

以下是普通的Functor实例:

instance Functor [] where
   fmap f (x : xs) = f x : fmap xs
   fmap _ []       = []

instance Functor Maybe where
   fmap f (Just x) = Just (f x)
   fmap _ Nothing  = Nothing

instance Functor ((,) a) where
   fmap f (x, y) = (x, f y)

那么...怎么样 回来 现在为Functor?

列表:

instance Functor [] where
   return x = [x]

好吧也许呢?

instance Functor Maybe where
   return x = Just x

可以现在Tuples:

instance Functor ((,) a) where
   return x = (??? , x)

您知道,应该将哪个值填充到该元组的左侧组件中是未知的。实例声明表示它有一个类型 a 但我们不知道该类型的值。也许a型是 Unit 只有一个值的类型。但如果 Bool ,我们应该 True 或 False ? 如果是的话 Either Int Bool 我们应该带吗 Left 0 或 Right False 或 Left 1 ?

所以你看,如果你有 回来 在Functors上,您通常无法定义许多有效的函子实例(您需要施加类似FunctorEmpty类型类的约束)。

如果您查看文档 Functor 和 Monad 你会发现 Functor ((,) a) 但不适用于 Monad ((,) a) 。这是因为你无法定义 回来 为了那件事。

如果你有

instance Functor F where
    fmap = ...

然后类型构造函数 F 对象(即类型)上的操作是否采用类型 T 到类型 F T 和 fmap 是态射(函数)上的作用取函数 f :: T -> U 到 fmap f :: F T -> F U .

在范畴论中,函子将所有对象从一个范畴映射到另一个范畴,但函子不映射 对象中的元素 .