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每一个单子都是一个应用函数,推广到其他类别。

category-theory applicative functor categories haskell

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M Farkas-Dyck · 技术社区 · 7 年前

我可以很容易地定义一般 Functor 和 Monad 哈斯克尔的课程:

class (Category s, Category t) => Functor s t f where
    map :: s a b -> t (f a) (f b)

class Functor s s m => Monad s m where
    pure :: s a (m a)
    join :: s (m (m a)) (m a)
    join = bind id
    bind :: s a (m b) -> s (m a) (m b)
    bind f = join . map f

我在读书 this post 这就解释了应用函数是一个松散(封闭或单体)函数。它是以(指数或单程)双张量的形式来实现的。我知道在哈斯克尔类,每 单子 是 Applicative 我们怎样才能概括?我们应该如何选择(指数或单相线)函子来定义 应用的 ?让我困惑的是我们的 单子 类似乎对(闭的或单体的)结构没有任何概念。

编辑:一个评论说这通常是不可能的,所以现在我的部分问题是在哪里可能。

2 回复 | 直到 7 年前

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Jorge Adriano Branco Aires 7 年前

让我困惑的是,我们的monad类似乎对(封闭或单体)结构没有任何概念。

如果我正确理解你的问题,这将通过单子的张量强度来提供。这个 Monad 类没有它,因为它是 哈斯克 类别。更具体地说,假设为:

t :: Monad m => (a, m b) -> m (a,b)
t (x, my) = my >>= \y -> return (x,y)

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leftaroundabout 7 年前

从本质上讲,所有涉及到一个单体函子方法的单体物质都发生在目标类别上。因此可以正式化 ^阿西 :

class (Category s, Category t) => Functor s t f where
  map :: s a b -> t (f a) (f b)

class Functor s t f => Monoidal s t f where
  pureUnit :: t () (f ())
  fzip :: t (f a,f b) (f (a,b))

s -只有当你考虑一个单值函数的规律,也就是说,它的单值结构 S 应该被映射到 t 由函子。

也许更具洞察力的是 fmap 在类方法中,很明显函数的__func-_部分做了什么:

class Functor s t f => Monoidal s t f where
  ...
  puref :: s () y -> t () (f y)
  puref f = map f . pureUnit
  fzipWith :: s (a,b) c -> t (f a,f b) (f c)
  fzipWith f = map f . fzip

从 Monoidal ,我们可以找回我们的好时光 哈斯克 - Applicative 因此:

pure :: Monoidal (->) (->) f => a -> f a
pure a = puref (const a) ()

(<*>) :: Monoidal (->) (->) f => f (a->b) -> f a -> f b
fs <*> xs = fzipWith (uncurry ($)) (fs, xs)

或

liftA2 :: Monoidal (->) (->) f => (a->b->c) -> f a -> f b -> f c
liftA2 f xs ys = fzipWith (uncurry f) (xs,ys)

也许在这方面更有趣的是另一个方向,因为这显示了我们在一般情况下与monads的联系:

instance Applicative f => Monoidal (->) (->) f where
  pureUnit = pure
  fzip = \(xs,ys) -> liftA2 (,) xs ys
       = \(xs,ys) -> join $ map (\x -> map (x,) ys) xs

lambda和tuple部分在一般类别中不可用,但是它们可以 translated to cartesian closed categories .

^阿西 _{我在用

(,)

作为两个单体类的产物,带有同一元素

()

. 一般来说,你可能会写

data I_s

和

data I_t

和

type family (â) x y

和

type family (â) x y

对于产品及其各自的标识元素。}