如何计算给定方向上的最小平移向量?

假设圆a的中心坐标和半径由a.x、a.y和a.r给出。

还假设我们有一个向量v,我们希望通过将第一个圆沿v方向移动一个量d来将圆推开。当出现以下情况时,圆将接触:

((a.x+(v.x*d))-b.x) ^2. +((a.y+(v.y*d))-b.y) ^2. =(a.r+b.r) ^2.

该公式仅计算偏移圆心之间的平方距离,并将其设置为半径之和的平方。

我们可以通过从两个圆中减去第二个圆的中心点来移动这两个圆,从而使第二个圆形位于原点,从而将其从方程中删除,从而简化这一点:

(a.x+(v.x*d)) ^2. +(a.y+(v.y*d)) ^2. =(a.r+b.r) ^2.

现在我们只需要求解d,并将其乘以v即可得到结果(分离向量)。我作弊并使用了 online solver ,有两种解决方案(格式化为代码,因为格式化程序一直试图将乘法转换为斜体):

d = -(sqrt((v.y²+v.x²)*e-a.x²*v.y²+2*a.x*v.x*a.y*v.y-v.x²*a.y²)+a.y*v.y+a.x*v.x)/(v.y²+v.x²)
d = (sqrt((v.y²+v.x²)*e-a.x²*v.y²+2*a.x*v.x*a.y*v.y-v.x²*a.y²)-a.y*v.y-a.x*v.x)/(v.y²+v.x²)

以下是Java中的一些概念验证代码:

double calculateSeparationDistance(double circle1x, double circle1y, double radius1, double circle2x, double circle2y, double radius2, double vectorx, double vectory)
{
    double a = circle1x-circle2x;
    double b = vectorx;
    double c = circle1y-circle2y;
    double d = vectory;
    double e = (radius1 + radius2) * (radius1 + radius2);

    // 2 possible solutions:
    double distance = -(Math.sqrt(((d*d)+(b*b))*e-(a*a)*(d*d)+2*a*b*c*d-(b*b)*(c*c))+c*d+a*b)/((d*d)+(b*b));
    // double distance = (Math.sqrt(((d*d)+(b*b))*e-(a*a)*(d*d)+2*a*b*c*d-(b*b)*(c*c))-c*d-a*b)/((d*d)+(b*b));

    // add (distance * vectorx, distance * vectory) to first circle, or subtract from second circle to separate them 
    return distance;
}

这两种解决方案对应于在任一方向上将第一个圆推出第二个圆。您可以选择绝对值最小的解决方案,也可以选择带正号的解决方案。

失败案例:当圆不相交并且向量没有将它们置于碰撞过程中时,则没有解,并且方程给出负值的平方根,因此要么事先进行相交测试,要么在将其传递给sqrt()之前检查值的符号。

复制samgak中的命名方案,但将所有内容简化为二次方程的标准情况给出了程序

double calculateSeparationDistance(double circle1x, double circle1y, double radius1, double circle2x, double circle2y, double radius2, double vectorx, double vectory)
{
    double dx = circle1x-circle2x;
    double vx = vectorx;
    double dy = circle1y-circle2y;
    double vy = vectory;
    double R2 = (radius1 + radius2) * (radius1 + radius2);

    // the equation is 
    // (dx+vx*d)²+(dy+vy*d)² = R2
    // expanding and reordering by degree
    // (vx²+vy²)*d²+2*(vx*dx+vy*dy)*d+(dx²+dy²-R2) = 0

    double a = vx*vx;
    double b = 2*(vx*dx+vy*dy);
    double c = dx*dx+dy*dy-R2

    // Note that we want the smaller (in absolute value) solution, 
    // and that the selection by the solution formula depends on
    // the sign of b. Setting (b,d):=(-b,-d) still results in an
    // equation with a solution.

    double sign = 1;
    if ( b<0 ) { b=-b; sign = -1; } 

    // Real solutions do not exist if the discriminant is negative
    // here that means that abs(dx*vx+dx*vy) is too small, 
    // geometrically that the circles never touch if moving in
    // direction v.

    if( b*b < 4*a*c ) return 0; // or 1e308 or throw exception

    // apply stable standard solution formula for the smaller solution:
    double d = -(2*c)/(b + Math.sqrt(b*b-4*a*c));

    return sign*d;
}