手工实现协方差

我今天做了一个奇怪的观察——我用3种不同的方式实现了两个向量的协方差,得到了2个不同的答案。在R中,方法1和2是相同的。方法3在数学上应该是相同的,但不知何故它返回了一个不同的数字。这里的虫子是什么?

# Make some data
set.seed(100)
n = 100
foo = rnorm(n)
bar = rnorm(n)

# method 1
cov(foo, bar)

# method 2
sum(
  (foo - mean(foo)) * (bar - mean(bar))
) / (n-1)

# method 3
(
  sum(foo*bar) - 
    mean(bar)*sum(foo) -
    mean(foo)*sum(bar) + 
    mean(foo)*mean(bar)
) / (n-1)