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二次贝塞尔曲线分段定义参数的计算

bezier geometry math language-agnostic algorithm

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jedierikb grijalvaromero · 技术社区 · 15 年前

我有一条二次贝塞尔曲线,描述为(startx,starty)到(anchorx,anchory)并使用控制点(controlx,controly)。

我有两个问题:

(1)我想根据X点确定曲线上的Y点。

(2)然后,给定贝塞尔曲线上的一个线段(由贝塞尔曲线上的两个中间点(startx'、starty'、anchorx'、anchory')定义),我想知道该线段的控制点,以便它与原始贝塞尔曲线完全重叠。

为什么?我需要这些信息进行优化。我画了很多水平边框。当Bezier大于屏幕时,性能会受到影响,因为渲染引擎的渲染结果超出了可见范围。这个问题的答案会让我呈现出可见的东西。

2 回复 | 直到 7 年前

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outis 12 年前

第1部分

二次贝塞尔曲线的公式是:

B(t) = a(1-t)²    + 2bt(1-t)   + ct²
     = a(1-2t+t²) + 2bt - 2bt² + ct²
     = (a-2b+c)t²+2(b-a)t + a

其中,粗体表示矢量。用乙 _X (t)鉴于,我们已经:

x = (a_x-2b_x+c_x)t²+2(b_x-a_x)t + a_x

哪里 V _X 是的X分量 V .

根据二次公式,

     -2(b_x-a_x) Â± 2â((b_x-a_x)² - a_x(a_x-2b_x+c_x))
t = -----------------------------------------
             (2a_x(a_x-2b_x+c_x))

     a_x-b_x Â± â(b_x² - a_xc_x)
  = ----------------------
         a_x(a_x-2b_x+c_x)

假设存在一个解,把这个t代入原始方程,得到乙 (t)在给定的x处。

第2部分

与其生成与第一部分重合的第二个贝塞尔曲线(我现在不想处理符号),不如简单地将参数参数的域限制为适当的子区间[0,1]。也就是说,使用第1部分来查找x的两个不同值的t值;调用这些t值i和j。乙 (t)对于t_[i,j]。等价地,画乙 (t(j-i)+i)对于t[0,1]。

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Alex Arm. 7 年前

t方程是错误的,你需要用公式(1)

(1) x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

并用根的二次公式(2)求解。

           -b Â± â(b^2 - 4ac)
  (2)  x = -----------------
              2a

在哪里?

a = ax-2bx+cx
b = 2(bx-ax)
c = ax - x