二次贝塞尔曲线分段定义参数的计算

第1部分

二次贝塞尔曲线的公式是:

B(t) = a(1-t)2    + 2bt(1-t)   + ct2
     = a(1-2t+t2) + 2bt - 2bt2 + ct2
     = (a-2b+c)t2+2(b-a)t + a

其中,粗体表示矢量。用 乙 _X (t)鉴于,我们已经:

x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

哪里 V _X 是的X分量 V .

根据二次公式,

     -2(bx-ax) ± 2√((bx-ax)2 - ax(ax-2bx+cx))
t = -----------------------------------------
             (2ax(ax-2bx+cx))

     ax-bx ± √(bx2 - axcx)
  = ----------------------
         ax(ax-2bx+cx)

假设存在一个解,把这个t代入原始方程,得到 乙 (t)在给定的x处。

第2部分

与其生成与第一部分重合的第二个贝塞尔曲线(我现在不想处理符号),不如简单地将参数参数的域限制为适当的子区间[0,1]。也就是说,使用第1部分来查找x的两个不同值的t值;调用这些t值i和j。 乙 (t)对于t_[i,j]。等价地,画 乙 (t(j-i)+i)对于t[0,1]。

t方程是错误的,你需要用公式(1)

(1) x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

并用根的二次公式(2)求解。

           -b ± √(b^2 - 4ac)
  (2)  x = -----------------
              2a

在哪里?

a = ax-2bx+cx
b = 2(bx-ax)
c = ax - x