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逆三维(三角形)投影

reverseprojection projection 3d math

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Pieter Jongsma · 技术社区 · 17 年前

我有一道三维数学题,我好像解不出来。

我有三点的数据。数据是平面上的(二维)坐标,漂浮在三维空间的某个地方。我也知道投影的(二维)坐标。这将产生以下数据数组:

[[[x1,y1], [px1,py1],
 [[x2,y2], [px2,py2],
 [[x3,y3], [px3,py3]]

其中,法向(x1等)坐标表示平面上的坐标,另一个(px1等)表示投影坐标。

我想做的是a项目新的二维坐标([x4,y4])。

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我到目前为止所做的:

当然,你需要一只眼睛来投射,所以我把它设为[xe,ye,-1]。xe和ye是众所周知的。(这是照片参考,所以我把眼睛放在照片的中心。)

在眼睛下面我放置了投影面(z=0)。给出以下投影坐标:

[[[x1,y1], [px1,py1,0],
 [[x2,y2], [px2,py2,0],
 [[x3,y3], [px3,py3,0]]

我不能对飞机上的坐标做同样的事,因为我对那架飞机一无所知。

我还想,我可以做一个参数化公式的直线从眼睛通过投影坐标。对于第1行:

line1x = xe+(px1-xe)*t1
line1y = ye+(py1-ye)*t1
line1z = -1+t1 // = -1+(0--1)*t1

我也知道3D中点之间的距离。这与2D中的相同。这意味着点1和点2之间的距离是sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)。

我也随时知道直线之间的距离(直线1和直线2)。这是sqrt((line1x-line2x)^2+(line1y-line2y)^2+(line1z-line2z)^2)。

但是,我真的不知道怎么从这里走。。。或者这是不是正确的路线。

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我希望你明白我想做什么,你能帮助我。

提前谢谢!

5 回复 | 直到 15 年前

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Juozas Kontvainis 17 年前

有一个函数投影,它可以变换点,使投影([x1,y1])=[px1,py1],投影([x2,y2])=[px2,py2],投影([x3,y3])=[px3,py3]。如果我理解正确,作者想知道如何找到这个投影函数,这样他就可以把[x4,y4]转换成[px4,py4]。

因为我们在这里处理平面,所以投影函数如下所示:

Proj([ix, iy]) :
    return [ax*ix + bx*iy + cx,
            ay*iy + by*iy + cy];

利用它我们可以得到两个方程组来求解。

第一个
x1个* 斧头 +一* bx公司 + 国泰 =像素1
x2个* +y2年* bx公司 + 国泰 =像素2
x3个* 斧头 +y3年* bx公司 + 国泰 =像素3

解决斧头 , bx公司 和国泰给了我们

ax = (px1 * (y3 - y2) - px2*y3 + px3*y2 + (px2 - px3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
bx = - (px1 * (x3 - x2) - px2*x3 + px3*x2 + (px2 - px3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cx = (px1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (px2*y3 - px3*y2) + (px3*x2 - px2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

第二个 x1个* 埃 +一* 通过 + 赛 =py1
x2个* +y2年* 通过 + 赛 =py2年
x3个* 埃 +y3年* 通过 + 赛 =py3年

解决埃 , 通过和赛给了我们

ay = (py1 * (y3 - y2) - py2*y3 + py3*y2 + (py2 - py3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
by = - (py1 * (x3 - x2) - py2*x3 + py3*x2 + (py2 - py3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cy = (py1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (py2*y3 - py3*y2) + (py3*x2 - py2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

注:我用过 this tool 解方程组。

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fa. 17 年前

你应该用 homographic functions 和 homogeneous coordinates ,通常用于三维透视操作。

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Eric Bainville 17 年前

写

(x4,y4,1) = A1*(x1,y1,1) + A2*(x2,y2,1) + A3*(x3,y3,1),

求解A1,A2,A3。那么

(xp4,yp4) = A1*(px1,py1) + A2*(px2,py2) + A3*(px3,py3).

第一次编辑。

(A1,A2,A3)是线性系统Mat*(A1,A2,A3)=(x4,y4,1)的解。

      ( x1  x2  x3 )
Mat = ( y1  y2  y3 )
      (  1   1   1 )

这可以通过多种方式解决。例如使用 Cramer's 规则。

第二次编辑。

我插入的1不是Z坐标,而是输入坐标的齐次扩展(必须是欧几里德坐标)。(A1,A2,A3)是由三角形顶点构成的基中的齐次坐标。

第三次编辑。

三维平面与投影平面的对应关系是一种投影变换。它可以定义为一个3x3矩阵T,在输入平面(x,y,1)(在坐标系中)的齐次坐标上操作,并在投影平面上生成坐标(u,v,T)。则px=u/t,py=v/t。

如果一个点在由输入平面的三个点(不在同一条线上)构成的基中具有齐次坐标(A1、A2、A3),则其投影在投影基中具有相同的齐次坐标。

一个小时前我似乎很清楚,但现在我开始怀疑:也许需要知道另外一对点,才能找到解决问题的唯一办法。。。如果你能找到它,可以看看J.G.Semple和G.T.Kneebone的《代数射影几何》一书。

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eman eman 17 年前

我真的不明白这个问题?您是否试图在三维空间中定位一个对象,而您知道该对象位于平面(例如墙或地板)上,并且您仅有的输入是距离相机图像3个点(其中您知道三维空间中的距离)?

在这种情况下,您将有3个这样的方程,其中localCoordinates是objectspace中的点坐标(给出点之间的已知距离),world是3d空间中的对象位置。

cameraCoordinates = world*view*projection*localCoordinates

这将产生一个方程系统,其中有6个未知(三维中的旋转和位置)和6个方程(每个点2个)。但是它是非线性的,所以你必须用数值方法来求解它。试试Newton-Rapson方法。

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digitalvision 13 年前

这里有点晚了,但是最高评价的答案没有考虑到问题的三维空间。我们有一个透视投影问题,一个平面上的三个点(实际上是任意三个三维点)被投影到相机的表面上(如在射影几何中)。

不可能对这个问题给出明确的解决方案(存在多个解决方案)。在原算法的基础上,利用P3P(perspective-3-Point)算法,解决了在给定3个3D点及其各自的2D透视投影下寻找摄像机位置和姿态的一般问题 RANSAC paper ,这将给出四个可能的可行解决方案(点位于相机前面)。

给定一个摄像机姿态,计算附加平面点的投影是很简单的。