计算联合分布的一部分的概率

首先移动所有物体,使两个正态分布(X和Z)以零为中心;现在,联合分布将是一座以原点为中心的小山。

现在缩放其中一个轴,使两个分布具有相同的方差(或“宽度”)。现在,联合概率应该是一个旋转对称的山。

现在最重要的是这条线离原点有多近。围绕原点旋转(这将保持关节概率不变),直到直线平行于其中一个轴,例如Z。现在,您需要随机点的X大于或小于直线的X值的概率。这是由一个比例分布函数确定的(它们是相同的),并且可以通过误差函数进行计算。

如果有用的话,我可以写出数学题。

编辑:我将试着写出最后一步。请原谅我的粗俗,我没有一个好的数学平板电脑。

假设我们已缩放分布并将其居中,使sigmaX=sigmaZ=1,并旋转所有对象:

joint probability: P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

line: x = c

现在要找出随机点位于某个x和x+dx之间的窄“垂直”带上的概率:

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

但这和两个正态分布中的一个是一样的。所以一个随机点,比如说,在直线的左边的概率是

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))