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计算切线垂直于锚定线的三次贝塞尔T值

equation bezier geometry

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drawnonward · 技术社区 · 15 年前

这也可以表示为在投影曲线距离线段p1、p4的中心最远的位置找到T值。当p2和p3投影到线段上时,解分别为0和1。有没有一个方程可以解决更有趣的问题?

T值似乎仅取决于映射控制点与锚线段的距离。

编辑:

从2d中的p1,…,p4开始,值为x1,y1,…,x4,y4,我根据Philippe的回答使用以下代码:

dx = x4 - x1;
dy = y4 - y1;
d2 = dx*dx + dy*dy;
p1 = ( (x2-x1)*dx + (y2-y1)*dy ) / d2;
p2 = ( (x3-x1)*dx + (y3-y1)*dy ) / d2;
tr = sqrt( p1*p1 - p1*p2 - p1 + p2*p2 );
t1 = ( 2*p1 - p2 - tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );
t2 = ( 2*p1 - p2 + tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );

在我观察的样本中,t2必须从1.0中减去才是正确的。

1 回复 | 直到 15 年前

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Philippe Beaudoin 15 年前

假设有一条1D立方Bzier曲线 P0 = 0 和 P3 = 1 那么曲线是:

P(t) = b0,3(t)*0 + b1,3(t)*P1 + b2,3(t)*P2 + b3,3(t)*1

bi,3(t) 是 Bernstein polynomials t 这个在哪里 P(t)

P'(t) = b1,3'(t)*P1 + b2,3'(t)*P2 + b3,3'(t)
      = (3 - 12t + 9t^2)*P1 + (6t - 9t^2)*P2 + 3t^2
      = 0

这有一个封闭的形式,但非平凡的解决方案。据沃尔夫拉马尔法说,什么时候 3P1 - 3P2 +1 != 0

t = [2*P1 - P2 +/- sqrt(P1^2-P1*P2-P1+P2^2)] / (3*P1 - 3*P2 + 1)

否则就是:

t = 3P1 / (6P1 - 2)

对于一般的n维立方Bzier P0*,P1*,P2*,P3*计算:

P1 = proj(P1*, P03*) / |P3* - P0*|
P2 = proj(P2*, P03*) / |P3* - P0*|

proj(P, P03*) P0* 切中要害 P P3* .