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单位球面上的均匀随机(蒙特卡罗)分布

montecarlo random 3d

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avp · 技术社区 · 16 年前

我从一个点发射光线。这些光线的分布有个问题:我需要均匀的分布,但它不是。。。

我现在面临的问题是,在我扭曲了结果空间之后,最初是均匀的分布并不均匀。

例如,我在极坐标系下生成r和t角。分布是不均匀的,也不可能是均匀的:靠近每个极点的空间比靠近赤道的空间有更多密度的结果。原因很清楚:我将均匀分布的点从圆柱形空间转换为球形空间。我扭曲了结果。同样的问题是,如果我规范化立方体中随机生成的点。

我现在的想法是:我想创建一个四面体,规范它的顶点,用中间的点分割每个面(三角形),规范它,并递归地重复,直到我有足够的点。然后我稍微“扭曲”了这些点。然后我再次使它们正常化。就这样。

我知道这个方法本身并不是纯数学的蒙特卡罗方法,因为除了最后一步,我在任何一步都不使用随机分布。我不喜欢这种复杂的解决方案。

随机的
制服
简单的

编辑:
我需要一个快速的方法,而不仅仅是正确的方法。这就是为什么我要问有关蒙特卡洛的问题。提供的答案是正确的,但不是很快。四面体法速度快,但不太“随机”=>不对。

6 回复 | 直到 16 年前

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David Norman 16 年前

Here's 允许您在单位球体上随机生成点的算法。

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finnw 15 年前

下面是我过去使用过的一个Java实现:

public static double[] randomPointOnSphere(Random rnd)
{
    double x, y, z, d2;
    do {
        x = rnd.nextGaussian();
        y = rnd.nextGaussian();
        z = rnd.nextGaussian();
        d2 = x*x + y*y + z*z;
    } while (d2 <= Double.MIN_NORMAL);
    double s = Math.sqrt(1.0 / d2);
    return new double[] {x*s, y*s, z*s};
}

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Bo Persson Touseef 14 年前

然后我建议ZCW角,它均匀分布在整个球体上,计算速度很快。排斥法很好,但速度很慢:它在球体上迭代均匀地分布点。幸运的是,这只需要做一次。

这在结晶学和核磁共振中使用,因为对于粉末模式,使用均匀分布比使用随机分布更快(需要的点数更少)。

Here 是ZCW的Python实现。

有关详情,请参阅以下文件:

Investigations of a nonrandom numerical method for multidimensional integration ,
Computer simulations in solid-state NMR. III. Powder averaging , 马蒂亚斯埃德恩酒店

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dmckee --- ex-moderator kitten 16 年前

phi (极角)和 cos(theta)

在伪代码中:

phi = phi_low_limit        + rand()*(phi_high_limit       - phi_low_limit)
ct = cos(theta_high_limit) + rand()*(cos(theta_low_limit) - cos(theta_high_limit))
// The order is inverted here because cos heads down for increasing theta
theta = arccos(ct)

这是规则的一个特例,该规则表示反转 Jacobian 那些协调。

另外请注意:这实际上不是最快的方法,而是一种说明一般原理的方法。

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Andrew Butts 16 年前

除非只对琐碎的场景进行光线跟踪,否则渲染时间真的会由采样时间控制吗?如果没有,它可能还不值得优化,尽管它值得阅读和理解其他答案中给出的统一采样技术。

此外,您的样本不需要非常随机,就可以很好地估计所采样的函数。您可能希望使用拟随机数序列(如 Halton sequence

无论如何,你真的应该咨询ompf.org上的论坛。那里有一些超级强悍的光线追踪高手。