链接到朋友函数时出错

我有一个'vector3'类 编译的 成功。它同时包含非友元和友元函数,例如,当vector3是第二个操作数时重载*和<<运算符。问题是我不能链接到任何friend函数,不管它是否是操作符重载的。所以我可以确认这个错误不是特定于运算符重载的。用于链接的g++命令如下(另请参见末尾的makefile)。

g++ -Wall -W -I./ -g -o main.out main.o Vector3.o

出现了以下错误,

main.cpp:7: undefined reference to `operator*(double, Vector3 const&)'
main.cpp:9: undefined reference to `mag(Vector3 const&)'
main.cpp:10: undefined reference to `operator<<(std::basic_ostream<char, std::char_traits<char> >&, Vector3 const&)'

下面是我的源文件中的相关代码。我遵循为每节课分别制作.hpp和.cpp的做法。

/* file Vector3.hpp */
struct Vector3 {
    ...
    Vector3 operator*(const double k) const;
    friend Vector3 operator*(const double k, const Vector3 &vec);
    double magnitude() const;
    friend double mag(const Vector3 &vec);
    friend std::ostream& operator<<(std::ostream& output, const Vector3 &vec);
    ...
}

/* file Vector3.cpp */
Vector3 operator*(const double k, const Vector3 &vec) {
    ...
}

inline double mag(const Vector3 &vec) {
    ...
}

std::ostream& operator<<(std::ostream& output, const Vector3 &vec) {
    ...
}

/* file main.cpp */
#include "Vector3.hpp"
int main() {
    Vector3 M(1, 1, 1);
    M = M * 2.0;              // own operator* links successfully
    M = 10.0 * M;             // friend operator* doesn't link
    double m = M.magnitude(); // own function magnitude() links successfully
    double n = mag(M);        // friend function mag() doesn't link
    std::cout << M;           // friend operator<< doesn't link
}

最后,这是我的makefile。

CXX         = g++
CXXFLAGS    = -Wall -W $(INCPATH) -g
INCPATH     = -I./
OBJS        = main.o Vector3.o

main.out: $(OBJS)
 $(CXX) $(CXXFLAGS) -o $@ $(OBJS) $(LIBPATH)

main.o: main.cpp
Vector3.o: Vector3.cpp

clean:
 rm -f $(OBJS) main.out

最奇怪的是,如果我在main.cpp中也包含vector3.cpp文件,然后在makefile中从objs中删除vector3.o,那么程序将成功链接。我搞不懂。请帮帮我!!