结合记忆和尾部递归

一如既往,延续产生了一个优雅的追尾解决方案:

open System.Collections.Generic 

let cache = Dictionary<_,_>()  // TODO move inside 
let memoizedTRFactorial =
    let rec fac n k =  // must make tailcalls to k
        match cache.TryGetValue(n) with
        | true, r -> k r
        | _ -> 
            if n=0 then
                k 1
            else
                fac (n-1) (fun r1 ->
                    printfn "multiplying by %d" n  //***
                    let r = r1 * n
                    cache.Add(n,r)
                    k r)
    fun n -> fac n id

printfn "---"
let r = memoizedTRFactorial 4
printfn "%d" r
for KeyValue(k,v) in cache do
    printfn "%d: %d" k v

printfn "---"
let r2 = memoizedTRFactorial 5
printfn "%d" r2

printfn "---"

// comment out *** line, then run this
//let r3 = memoizedTRFactorial 100000
//printfn "%d" r3

有两种测试。首先,这个演示调用F(4)可以根据需要缓存F(4)、F(3)、F(2)、F(1)。

然后,注释掉 ***

下一步,我想,把记忆分解和阶乘分离开来:

open System.Collections.Generic 

let cache = Dictionary<_,_>()  // TODO move inside 
let memoize fGuts n =
    let rec newFunc n k =  // must make tailcalls to k
        match cache.TryGetValue(n) with
        | true, r -> k r
        | _ -> 
            fGuts n (fun r ->
                        cache.Add(n,r)
                        k r) newFunc
    newFunc n id 
let TRFactorialGuts n k memoGuts =
    if n=0 then
        k 1
    else
        memoGuts (n-1) (fun r1 ->
            printfn "multiplying by %d" n  //***
            let r = r1 * n
            k r) 

let memoizedTRFactorial = memoize TRFactorialGuts 

printfn "---"
let r = memoizedTRFactorial 4
printfn "%d" r
for KeyValue(k,v) in cache do
    printfn "%d: %d" k v

printfn "---"
let r2 = memoizedTRFactorial 5
printfn "%d" r2

printfn "---"

// comment out *** line, then run this
//let r3 = memoizedTRFactorial 100000
//printfn "%d" r3

编辑

open System.Collections.Generic 

let memoize fGuts =
    let cache = Dictionary<_,_>()
    let rec newFunc n k =  // must make tailcalls to k
        match cache.TryGetValue(n) with
        | true, r -> k r
        | _ -> 
            fGuts n (fun r ->
                        cache.Add(n,r)
                        k r) newFunc
    cache, (fun n -> newFunc n id)
let TRFactorialGuts n k memoGuts =
    if n=0 then
        k 1
    else
        memoGuts (n-1) (fun r1 ->
            printfn "multiplying by %d" n  //***
            let r = r1 * n
            k r) 

let facCache,memoizedTRFactorial = memoize TRFactorialGuts 

printfn "---"
let r = memoizedTRFactorial 4
printfn "%d" r
for KeyValue(k,v) in facCache do
    printfn "%d: %d" k v

printfn "---"
let r2 = memoizedTRFactorial 5
printfn "%d" r2

printfn "---"

// comment out *** line, then run this
//let r3 = memoizedTRFactorial 100000
//printfn "%d" r3

let TRFibGuts n k memoGuts =
    if n=0 || n=1 then
        k 1
    else
        memoGuts (n-1) (fun r1 ->
            memoGuts (n-2) (fun r2 ->
                printfn "adding %d+%d" r1 r2 //%%%
                let r = r1+r2
                k r)) 
let fibCache, memoizedTRFib = memoize TRFibGuts 
printfn "---"
let r5 = memoizedTRFib 4
printfn "%d" r5
for KeyValue(k,v) in fibCache do
    printfn "%d: %d" k v

printfn "---"
let r6 = memoizedTRFib 5
printfn "%d" r6

printfn "---"

// comment out %%% line, then run this
//let r7 = memoizedTRFib 100000
//printfn "%d" r7

记忆尾部递归函数的困境当然是,当尾部递归函数

let f x = 
   ......
   f x1

调用本身时,不允许对递归调用的结果执行任何操作,包括将其放入缓存。狡猾的;那我们该怎么办?

这里的关键是,由于递归函数不允许对递归调用的结果执行任何操作,因此递归调用的所有参数的结果都是相同的!因此,如果递归调用跟踪是这样的

f x0 -> f x1 -> f x2 -> f x3 -> ... -> f xN -> res

f x 所以递归函数的最后一次调用,非递归调用,知道前面所有值的结果-它可以缓存它们。您唯一需要做的就是将访问的值的列表传递给它。以下是它可能会寻找阶乘:

let cache = Dictionary<_,_>()

let rec fact0 l ((n,res) as arg) = 
    let commitToCache r = 
        l |> List.iter  (fun a -> cache.Add(a,r))
    match cache.TryGetValue(arg) with
    |   true, cachedResult -> commitToCache cachedResult; cachedResult
    |   false, _ ->
            if n = 1 then
                commitToCache res
                cache.Add(arg, res)
                res
            else
                fact0 (arg::l) (n-1, n*res)

let fact n = fact0 [] (n,1)

l 的参数 fact0 包含递归调用的所有参数 事实0 -就像非尾部递归版本中的堆栈一样!这是完全正确的。任何非尾部递归算法都可以通过将“堆栈帧列表”从一个堆栈移动到另一个堆,并将递归调用结果的“后处理”转换为遍历该数据结构的方式来转换为尾部递归算法。

实用注释:上面的阶乘示例说明了一种通用技术。它是非常无用的,因为它是非常充分的阶乘函数缓存的顶级 fact n 结果,因为 对于一个特定的n只命中fact0的一系列唯一的(n,res)参数对-如果(n,1)还没有被缓存,那么fact0的所有参数对都不会被调用。

注意,在这个例子中,当我们从非尾部递归阶乘到尾部递归阶乘时,我们利用了乘法是结合的和交换的这一事实-尾部递归阶乘执行一组不同于非尾部递归阶乘的乘法。

事实上,存在一种从非尾部递归到尾部递归算法的通用技术,它产生一个等价于tee的算法。这种技术被称为“连续传递变换”。沿着这条路线,你可以使用一个非尾部递归记忆阶乘,通过一个机械变换得到一个尾部递归记忆阶乘。关于这个方法的解释,请看布莱恩的答案。

我不确定是否有更简单的方法,但一种方法是创建一个记忆y组合器:

let memoY f =
  let cache = Dictionary<_,_>()
  let rec fn x =
    match cache.TryGetValue(x) with
    | true,y -> y
    | _ -> let v = f fn x
           cache.Add(x,v)
           v
  fn

然后,您可以使用此组合符代替“let rec”,第一个参数表示要递归调用的函数:

let tailRecFact =
  let factHelper fact (x, res) = 
    printfn "%i,%i" x res
    if x = 0 then res 
    else fact (x-1, x*res)
  let memoized = memoY factHelper
  fun x -> memoized (x,1)

编辑

正如米提亚指出的, memoY

let memoY f =
  let cache = Dictionary<_,_>()
  fun x ->
    let l = ResizeArray([x])
    while l.Count <> 0 do
      let v = l.[l.Count - 1]
      if cache.ContainsKey(v) then l.RemoveAt(l.Count - 1)
      else
        try
          cache.[v] <- f (fun x -> 
            if cache.ContainsKey(x) then cache.[x] 
            else 
              l.Add(x)
              failwith "Need to recurse") v
        with _ -> ()
    cache.[x]

不幸的是,插入到每个递归调用中的机器有点繁重,因此需要深度递归的未记忆输入的性能可能会有点慢。但是,与其他一些解决方案相比,它的优点是对递归函数的自然表达式的更改非常小:

let fib = memoY (fun fib n -> 
  printfn "%i" n; 
  if n <= 1 then n 
  else (fib (n-1)) + (fib (n-2)))

let _ = fib 5000

编辑

'a -> 'b 实际上不需要返回类型为的值 'b 'b option

let memoO f =
  let cache = Dictionary<_,_>()
  fun x ->
    let l = ResizeArray([x])
    while l.Count <> 0 do
      let v = l.[l.Count - 1]
      if cache.ContainsKey v then l.RemoveAt(l.Count - 1)
      else
        match f(fun x -> if cache.ContainsKey x then Some(cache.[x]) else l.Add(x); None) v with
        | Some(r) -> cache.[v] <- r; 
        | None -> ()
    cache.[x]

以前,我们的回忆录过程是这样的:

fun fib n -> 
  printfn "%i" n; 
  if n <= 1 then n 
  else (fib (n-1)) + (fib (n-2))
|> memoY

现在,我们需要考虑一个事实 fib int option 而不是 int . 提供一个合适的工作流 option 类型,可以编写如下:

fun fib n -> option {
  printfn "%i" n
  if n <= 1 then return n
  else
    let! x = fib (n-1)
    let! y = fib (n-2)
    return x + y
} |> memoO

但是,如果我们愿意更改第一个参数的返回类型(从 内景 到 int选项 在本例中,我们不妨一直这样做,只在返回类型中使用continuations,就像Brian的解决方案一样。他的定义有一个变化:

let memoC f =
  let cache = Dictionary<_,_>()
  let rec fn n k =
    match cache.TryGetValue(n) with
    | true, r -> k r
    | _ -> 
        f fn n (fun r ->
          cache.Add(n,r)
          k r)
  fun n -> fn n id

同样,如果我们有一个合适的计算表达式来构建CPS函数,我们可以这样定义递归函数:

fun fib n -> cps {
  printfn "%i" n
  if n <= 1 then return n
  else
    let! x = fib (n-1)
    let! y = fib (n-2)
    return x + y
} |> memoC

这与Brian所做的完全相同,但我发现这里的语法更容易理解。为了使这项工作顺利进行,我们只需要以下两个定义:

type CpsBuilder() =
  member this.Return x k = k x
  member this.Bind(m,f) k = m (fun a -> f a k)

let cps = CpsBuilder()

......720 // factorial 6
......720 // factorial 6
.....120  // factorial 5

......720 // memoizedFactorial 6
720       // memoizedFactorial 6
120       // memoizedFactorial 5

......720 // tailRecFact 6
720       // tailRecFact 6
.....120  // tailRecFact 5

......720 // tailRecursiveMemoizedFactorial 6
720       // tailRecursiveMemoizedFactorial 6
.....120  // tailRecursiveMemoizedFactorial 5

kvb的解决方案返回相同的结果,就像这个函数一样直接记忆。

let tailRecursiveMemoizedFactorial = 
    memoize 
        (fun x ->
            let rec factorialUtil x res = 
                if x = 0 then 
                    res
                else 
                    printf "." 
                    let newRes = x * res
                    factorialUtil (x - 1) newRes

            factorialUtil x 1
        )

测试源代码。

open System.Collections.Generic

let memoize f = 
    let cache = new Dictionary<_, _>()
    (fun x -> 
        match cache.TryGetValue(x) with
        | true, y -> y
        | _ -> 
            let v = f(x)
            cache.Add(x, v)
            v)

let rec factorial(x) = 
    if (x = 0) then 
        1 
    else
        printf "." 
        x * factorial(x - 1)

let rec memoizedFactorial =
    memoize (
        fun x -> 
            if (x = 0) then 
                1 
            else 
                printf "."
                x * memoizedFactorial(x - 1))

let memoY f =
  let cache = Dictionary<_,_>()
  let rec fn x =
    match cache.TryGetValue(x) with
    | true,y -> y
    | _ -> let v = f fn x
           cache.Add(x,v)
           v
  fn

let tailRecFact =
  let factHelper fact (x, res) = 
    if x = 0 then 
        res 
    else
        printf "." 
        fact (x-1, x*res)
  let memoized = memoY factHelper
  fun x -> memoized (x,1)

let tailRecursiveMemoizedFactorial = 
    memoize 
        (fun x ->
            let rec factorialUtil x res = 
                if x = 0 then 
                    res
                else 
                    printf "." 
                    let newRes = x * res
                    factorialUtil (x - 1) newRes

            factorialUtil x 1
        )

factorial 6 |> printfn "%A"
factorial 6 |> printfn "%A"
factorial 5 |> printfn "%A\n"

memoizedFactorial 6 |> printfn "%A"
memoizedFactorial 6 |> printfn "%A"
memoizedFactorial 5 |> printfn "%A\n"

tailRecFact 6 |> printfn "%A"
tailRecFact 6 |> printfn "%A"
tailRecFact 5 |> printfn "%A\n"

tailRecursiveMemoizedFactorial 6 |> printfn "%A"
tailRecursiveMemoizedFactorial 6 |> printfn "%A"
tailRecursiveMemoizedFactorial 5 |> printfn "%A\n"

System.Console.ReadLine() |> ignore

let rec y f x = f (y f) x

let memoize (d:System.Collections.Generic.Dictionary<_,_>) f n = 
   if d.ContainsKey n then d.[n] 
   else d.Add(n, f n);d.[n]

let rec factorialucps factorial' n cont = 
    if n = 0I then cont(1I) else factorial' (n-1I) (fun k -> cont (n*k))

let factorialdpcps  = 
    let d =  System.Collections.Generic.Dictionary<_, _>()
    fun n ->  y (factorialucps >> fun f n -> memoize d f n ) n id


factorialdpcps 15I //1307674368000