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Mathematica中近似相等检验的算子

wolfram-mathematica

Yaroslav Bulatov · 技术社区 · 15 年前

我经常需要检查 expr1==expr2 ,其中很难检查符号相等性,但数字检查就足够了

处理这样的案子 TildeTilde 工作方式 Equal 但它不会检查符号相等性,而是将未知值替换为数值,并在多个点检查数值相等性。

未知数是表达式中看起来像变量的东西。我能想到的那些 x , x[1,2] 和 Subscript[x,2,3] . 任何提示欢迎!

编辑

通常我会做如下的事情,但它需要指定变量,有时需要更改Chop公差,“10个样本”似乎是任意的。一个理想的测试仪应该是一个工作类似 Equals 保证有意义 False 答案。(补充 等于 有意义的 True 答案)

approxEqual[expr1_, expr2_, vars_] := 
  Chop[(expr1 - expr2 /. Thread[vars -> #]) & /@ 
     RandomReal[{-1, 1}, {10, Length[vars]}]] == Table[0, {10}];
expr1 = 1/Sqrt[2] Log[Cosh[q + x/Sqrt[2]] Sech[q - x/Sqrt[2]]];
expr2 = Sqrt[2] ArcTanh[Tanh[q] Tanh[x/Sqrt[2]]];
approxEqual[expr1, expr2, {q, x}]

顺便说一下,显然Maple使用 this 这种等式测试的算法

2 回复 | 直到 15 年前

Michael Pilat 15 年前

如果您使用 FindMaximum 作为起点:

In[64]:= FindMaximum[expr1 - expr2, q, x]

During evaluation of In[64]:= FindMaximum::fmgz: Encountered a gradient that
is effectively zero. The result returned may not be a maximum; it may be a 
minimum or a saddle point. >>

Out[64]= {1.11022*10^-16, {q -> 1., x -> 1.}}

因此:

approxEqual[lhs_, rhs_, tol_: 10^-10] :=
 Module[{vars},
  vars = DeleteDuplicates[
    Cases[{lhs,rhs}, s_Symbol /; Not[ValueQ[s]], Infinity]
  ];
  Chop[
    First[
     Quiet[FindMaximum[Abs[lhs - rhs], Evaluate[Sequence @@ vars]]]
    ], 
    tol] == 0
  ]

In[65]:= approxEqual[expr1, expr2]
Out[65]= True

In[66]:= approxEqual[expr1, expr2, 10^-20]
Out[66]= False

显然,通常这会受到各种数值错误的影响,您可以使用 AccuracyGoal / PrecisionGoal / WorkingPrecision /等选择 查找最大值 . 你也可以重复 查找最大值 对于变量的多个起点。

作为旁白,请注意 TildeTilde ,(即。 ~~ ),是的中缀运算符 StringExpression .

啊!

Janus 15 年前

我真的认为为要替换的符号指定模式和范围是值得的。下面的代码是我已经使用了一段时间的等式测试生成器的精良版本。
我的看法是 numEqual=MakeEqualityTest[...] 生成一个相等测试,然后可以应用于例如。 lhs ~numEqual~rhs 或者你喜欢的任何东西。你的问题是一个很受欢迎的机会来完善我的一些代码,最后它变得太大,不适合这里,所以我把它放在 github (链接直接指向可浏览代码)。

主要特点:

先用迈克尔的深度 Cases 合理的自动模式技巧
使用 Norm[#1-#2]& 作为处理向量、矩阵等的距离测试。
采样点的数目取决于自变量的数目。
用于指定分布的灵活系统(例如,可以用复数或矩阵替换符号)。

示例使用:

numeq=MakeEqualityTester[];
(Cos[x]^2+Sin[x]^2)~numeq~1
Sqrt[x^2]~numeq~x

Out[5]= True
During evaluation of In[4]:= EqualityTest::notEqual: The expressions Sqrt[x^2] and x were not equal at the following point:
Out[6]= {x->-0.352399}

也可以通过实用程序直接调用:

EqualityTest[1,Cos[x]^2+Sin[x]^2]
Out[7]= True

下面是一个特殊符号和分布的示例:

poseq=MakeEqualityTester[{
    Subscript[y,_]:>RandomReal[{10,11}],
    Automatic 
  },Tolerance-> 10^(-5)];
x ~poseq~ Sqrt[x^2]
Subscript[y,1] ~poseq~ Sqrt[Subscript[y,1]^2]

During evaluation of In[18]:= EqualityTest::notEqual: The expressions x and Sqrt[x^2] were not equal at the following point:
Out[19]= {x->-0.272029}
Out[20]= True