大O和小O符号的区别

fo(g)说,本质上

对于 常数的选择 A. 使得不等式0<=f(x)<=k g(x)适用于所有x>A.

注意,O(g)是该条件适用的所有函数的集合。

对于 常数的选择 K A. 使得不等式0<=f(x)<k g(x)适用于所有x>A.

再次注意,o(g)是一个集合。

在Big-O中,只需要找到一个特定的乘数 不平等性超过某个最小值 .

在Little-o中,必须有一个最小值 x K ,只要它不是负值或零。

这种差异的一个例子是:fo(f)为真,但fo(f)为假。因此,Big-O可以理解为“fo(g)表示f的渐近增长不快于g”,而“fo(g)表示f的渐近增长严格慢于g”。就像 <= 对 < .

更具体地说,如果g(x)的值是f(x)值的常数倍,那么f O(g)为真。这就是为什么在使用big-O表示法时可以删除常量。

然而,为了f o(g)为真,那么g必须包含一个更高的值 权力 所以,f(x)和g(x)之间的相对距离必须随着x的增大而增大。

要使用纯数学示例(而不是算法):

以下内容适用于Big-O,但如果使用little-O则不适用:

• xo(x)
• xO(200*x)

以下是little-o的真实情况:

• xo(x!)
• ln(x)o(x)

注意,如果fˆo(g),这意味着fˆo(g)。e、 因此,同样正确的是,把o看作 <= 而o作为 < )

≤ 是 <

例如,函数 f(n) = 3n

• 在里面 O(n²) , o(n²) ,及 O(n)
• O(lg n) , o(lg n) 或 o(n)

类似地,数字 1

• ≤ 2 , < 2 ,及 ≤ 1
• 不 ≤ 0 < 0 或 < 1

(注:该表是一个很好的指南,但其极限定义应根据 superior limit 而不是正常的限制。例如 3 + (n mod 2) O(1) lim sup

我建议记住Big-O符号如何转换为渐近比较。比较比较容易记住,但不太灵活,因为你不能说n之类的话 ^O(1)

我发现当我不能从概念上理解某件事时,我会思考

你知道的东西

假设有一个算法在O(N)中运行。不错吧?但是假设你(你这个聪明的人,你)想出了一个运行在O( ^N )耶!更快!但是当你写论文的时候,你会觉得一遍又一遍的写这些东西很愚蠢。所以你写一次,你可以说,“在本文中,我已经证明了算法X,以前在时间O(N)中是可计算的,实际上在时间O(N)中是可计算的。”

一般来说

渐近表示法可以理解为: (测试这一点的一个好方法就是使用类似 Desmos

• f(n) ∈ o(n) 意思是:在某一点上,你缩小的越多,就越容易 f(n) n (它将逐渐偏离它)。
• g(n) ∈ Θ(n) g(n) 比照 N

最后 h(n) ∈ O(n) 意味着这个功能 h 可以是这两个类别中的任何一个。它可能看起来很像 或者它可能会越来越小 什么时候 增加。基本上,两者都有 g(n) 也在 O(n)

在计算机科学中

在计算机科学中,人们通常会证明一个给定的算法同时允许两个上限 O 还有一个下限 𝛺

和 𝛺(n) 这意味着它的复杂性在于 Θ(n) . 这就是我们的定义 Θ 它或多或少地转化为“渐近相等”。这也意味着没有一种算法能够解决给定的问题 o(n) . 再一次,粗略地说“这个问题不可能在不到十年的时间内解决。” N

上界 O(n) 简单地说,即使在最坏的情况下,算法最多也会终止 步骤(忽略所有常数因子,包括乘法和加法)。下界 (n) N 步骤(再次忽略乘法和加法常数)。步骤的数量最多为 N 至少 所以这个问题的复杂性是“准确的” N ,而不是每次写的时候都说“忽略常数乘法/加法因子” (n) 简而言之。

以身作则 min(array)

. 这个问题的下界是 o(n) min 求解 闵 min ∈ o(n) 和 min ∈ O(n) 可以这样说 min ∈ Θ(n) .

no more than less than 另外,我们使用小o符号。大O和小O符号之间的差异类似于<=(小于等于)和<(少于)。